English version Нижеследующая статья была опубликована в журнале "Химия и жизнь" (№ 1, 1985, стр. 87). После этого автор получил письмо от одного физика из Москвы (имя которого за давностью лет автор запамятовал), который сообщал, что в физике уже есть теория, рассматривающая элементарные частицы не как точечные объекты, а как линии, называемые струнами. В этой связи надо подчеркнуть, что идея статьи не в том, чтобы представлять частицы не точками а линиями (струнами), а в том, что есть новый вид симметрии (между точками и линиями), которому должны удовлетворять законы природы.

Точки и прямые

Е. Б. Карасик

Copyright © 1985 Евгений Борисович Карасик

Попавший в 1812 г. в русский плен суб-лейтенант инженерных войск наполеоновской армии двадцатичетырехлетний математик Жан Виктор Понселе за время своего безделья в Саратове пришел к мысли, что можно создать геометрию, в которой точка служит не простейшим элементом пространства, а представляет собой сложный объект, состоящий ... из прямых.

Построения Понселе основывались на использовании понятия бесконечно удаленной точки, то есть точки, имеющей координаты X → ∞, Y → ∞. Однако, поскольку бесконечно большими числами невозможно оперировать, Понселе избрал обходной прием: каждую точку на плоскости он стал характеризовать не двумя, а тремя числами - X1, X2 и X3, связанными с декартовыми координатами X и Y соотношениями X = X1/X3 и Y = X2/X3. В этом случае точка оказывается бесконечно удаленной, если ее координата X3 равна нулю.

Если теперь в уравнении прямой на плоскости A1X + A2Y + A3 = 0 декартовы координаты заменить однородными координатами X1, X2 и X3, то уравнение прямой примет вид A1X1 + A2X2 + A3X3 = 0 и сразу же станет двойственным: зафиксировав значения A1, A2 и A3, его можно рассматривать как уравнение прямой в точечных координатах, а зафиксировав значения X1, X2 и X3, - как уравнение точки в линейных координатах. То есть в первом случае прямую можно считать состоящей из точек, а во втором случае считать точку состоящей из прямых: согласно идее Понселе, простейшим элементом пространства может быть выбран любой элемент. Эта идея была положена в основу так называемой проективной геометрии, частными случаями которой оказываются геометрии Эвклида, Римана и Лобачевского.

Проективная геометрия позволяет осмыслить относительность части и целого, простого и составного. Если предположить, что геометрия микромира двойственная, подобно геометрии проективного пространства, то взаимопревращаемость элементарных частиц перестанет быть удивительной с геометрической точки зрения (ведь как протон при распаде может дать нейтрон, так и нейтрон при распаде может дать протон); кроме того, в рассмотрение вводится новый тип симметрии (между тройками чисел A1, A2, A3 и X1, X2 и X3), что может привести к обнаружению новых законов сохранения.

Но как бы то ни было, остается только удивляться: почему со времен Эйнштейна для описания свойств физического пространтва привлекались какие угодно геометрии, но только не самая общая геометрия - проективная.